Quantum groupoids associated to universal dynamical R-matrices

By using twist construction, we obtain a quantum groupoid D⊗qUqg for any simple Lie algebra g. The underlying Hopf algebroid structure encodes all the information of the corresponding elliptic quantum group-the quasi-Hopf algebras as obtained by Fronsdal, Arnaudon et. al. and Jimbo et. al.. Groupöıdes quantiques associés à des R-matrices dynamiques universelles Résumé En utlisant une construction twistée, nous obtenons, pour toute algèbre de Lie simple g, un groupöıde quantique D⊗qUqg. La structure d’algébröıde de Hopf sous-jacente encode toute l’information contenue dans le groupe quantique elliptique correspondant—cf. les quasi-algèbres de Hopf obtenues par Fronsdal, Arnaudon et. al. et Jimbo et. al.. Version française abrégée Il y a, depuis peu, un intérêt grandissant pour l’équation de Yang-Baxter quantique universelle, aussi connue sous le nom d’équation de Geravais-Neveu-Felder : R12(λ+ ~h )R13(λ)R23(λ+ ~h ) = R23(λ)R13(λ+ ~h )R12(λ). (1) Ici, R(λ) est une fonction méromorphe de η vers Uqg⊗Uqg, où Uqg est un groupe quantique quasitriangulaire, et η ⊂ g est une sous-algèbre de Cartan. Cette équation apparâıt naturellement dans de nombreux contextes de la physique mathématique tels que le théorie de Liouville quantique, l’équation de Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard quantique ou encore le modèle de Caloger-Moser quantique. Une approche de cette équation est celle Babelon et. al. [3] qui utilise la théorie des quasi-algèbres de Hopf. Considèrons une fonction méromorphe F : η −→ Uqg⊗Uqg telle que F (λ) est inversible pour tout λ. Posons R(λ) = F21(λ) RF12(λ), où R ∈ Uqg⊗Uqg est la R-matrice universelle standard pour le groupe quantique Uqg. On peut vérifier que R(λ) satisfait l’équation (1) quand F (λ) est de poids nul, et satisfait la condition de cocycle décalé suivante : (∆0⊗id)F (λ)F12(λ+ ~h ) = (id⊗∆0)F (λ)F23(λ), (2) Research partially supported by NSF grants DMS97-04391.